数学における最適化問題では、関数の最小値や最大値を求めることがよく求められます。ここでは、関数Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10の最小値を求める方法について解説します。また、解答のアプローチとその妥当性についても触れます。
関数Qの式の整理
与えられた関数は、Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10です。この式の最小値を求めるためには、まず式を整理していきます。式の中でxとyが絡んでいるため、xに関して式を整理し、最小値を求めるための手順を踏みます。
式の整理と変形
まず、Qをxの平方の形に整理してみます。Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10は、xについての項を集めて、{x-(4y-3)}²という形に変形できます。この変形により、xの最小値が求めやすくなります。
最小値の求め方
式を整理した後、最小値を求めるために、Qはx=4y-3のときに最小値を取ることがわかります。ここで、y²-6y+1を最小化する必要があります。この式は、y=3のときに最小値-8を取ることがわかります。
解の確認と最小値の求め方
最小値を求めた結果、x=9, y=3のときに関数Qは最小値-8を取ることが確認できました。この解法は正確であり、与えられた式における最小値とそのx,yの値が正しく求められています。
まとめ
関数Q=x²-8xy+17y²+6x-30y+10の最小値を求めるための手順は、式の整理と変形を行い、最小化する必要のある項を見つけることでした。最終的に、x=9, y=3のときに最小値-8が得られました。この方法は正しい解法であり、最適化問題における基本的なアプローチが有効であることがわかります。
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