ベクトルに関する計算の中で、特に「|bベクトル – aベクトル|^2」がなぜ「|bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」ではなく、「|bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」になるのかという疑問が生じることがあります。この記事では、この問題を解決するために、ベクトルの差の2乗を展開する方法をわかりやすく説明します。
ベクトルの差の2乗を展開する
ベクトルの差の2乗を計算する際の基本的な式は次のようになります。
- |bベクトル – aベクトル|^2 = (bベクトル – aベクトル)・(bベクトル – aベクトル)
この式を展開すると、次の3つの項が現れます。
- (bベクトル)・(bベクトル) = |bベクトル|^2
- -(bベクトル)・(aベクトル) = -aベクトル・bベクトル
- -(aベクトル)・(bベクトル) = -aベクトル・bベクトル
これをまとめると、以下の式が得られます。
- |bベクトル – aベクトル|^2 = |bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2
なぜ「|bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」になるのか？
ベクトルの差の2乗が「|bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」となる理由は、まずベクトルの内積の性質にあります。内積は分配法則を持つため、展開時に項が重複して現れます。具体的には、(bベクトル – aベクトル)・(bベクトル – aベクトル)を計算すると、aベクトルとbベクトルの内積が2回現れるため、-2・aベクトル・bベクトルという項が加わります。
したがって、展開結果は以下の式となり、正確に「|bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」が得られます。
内積の性質と計算例
内積はベクトルの大きさと方向の関係を示す重要な演算です。ベクトルaとベクトルbの内積は、次のように計算できます。
- a・b = |aベクトル|・|bベクトル|・cos(θ)
ここで、θはベクトルaとbのなす角度です。内積を使うことで、ベクトル同士の関係を数値的に扱うことができ、上記の式がどのように成り立つのかをより深く理解することができます。
まとめ
ベクトルの差の2乗を計算する式「|bベクトル – aベクトル|^2 = |bベクトル|^2 – 2・aベクトル・bベクトル + |aベクトル|^2」は、内積の分配法則を適用することで自然に導かれる結果です。内積の性質を理解することで、この式の成り立ちや計算方法をしっかりと把握できるようになります。
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