微分方程式の解法：x^2y''+xy'-y=x^2e^-xを解く

この記事では、微分方程式x^2y”+xy’-y=x^2e^-xを解く方法について解説します。この方程式は変数分離法や定数変化法などの手法を使用して解くことができます。まずは問題を理解し、段階を追って解法を説明します。

微分方程式の整理

与えられた微分方程式は次のようになります。

x^2y” + xy’ – y = x^2e^-x

ここで、y”はyの2階微分、y’はyの1階微分を意味します。この微分方程式は、非同次線形微分方程式の形式です。

まずは、右辺のx^2e^-xを無視して同次方程式を解きます。

x^2y” + xy’ – y = 0

この方程式を解くためには、試行解としてy = x^rの形を仮定します。これを代入すると、次のような特性方程式が得られます。

r(r-1) + r – 1 = 0

解くと、r = 1 または r = -1 となります。したがって、同次方程式の一般解は。

y_h = C1x + C2/x

ここで、C1とC2は定数です。

次に、非同次方程式を解くために定数変化法を使用します。非同次項はx^2e^-xです。まず、同次方程式の解に基づいて、定数C1およびC2を変化させて、非同次方程式の解を求めます。

解の形をy_p = Ax^2e^-xと仮定します。これを元の方程式に代入し、係数を調整してAを求めます。計算の結果、A = -1/2となります。

したがって、非同次方程式の特解はy_p = -1/2 x^2 e^-x です。最終的な解は、同次方程式の解と特解を合わせて、次のようになります。

y = C1x + C2/x – 1/2 x^2 e^-x

微分方程式x^2y” + xy’ – y = x^2e^-xの解法を、同次方程式と非同次方程式の解法を段階的に進めて求めました。最終的な解はy = C1x + C2/x – 1/2 x^2 e^-xとなります。この解法を理解することで、類似の微分方程式にも対応できるようになります。