因数分解の問題は、数学の中でもよく出てくるテーマであり、特に二次方程式の因数分解は重要な技術です。今回の問題では、6x² – 17x + 12 の因数分解を行う際に、間違った答えが導かれました。本記事では、正しい因数分解の方法と、間違った因数分解がなぜ起きたのか、その理由を解説します。
1. 6x² – 17x + 12 の因数分解の正しい方法
まず、6x² – 17x + 12 を因数分解するために、適切な方法を使います。この式を因数分解するためには、まず係数6と定数12に注目し、積が6 × 12 = 72となる2つの数を見つけます。そして、その2つの数の和が-17になるようにします。
この場合、-9 と -8 が該当します。これらを使って式を分解すると、次のようになります。
6x² – 9x – 8x + 12 = 3x(2x – 3) – 4(2x – 3) = (2x – 3)(3x – 4)
したがって、6x² – 17x + 12 の因数分解の結果は、(2x – 3)(3x – 4)です。
2. 間違った因数分解の理由
次に、質問者が出した間違った答え「(-2x + 3)(-3x + 4)」がなぜ間違っているのかを説明します。まず、因数分解の手順では、数式の符号や係数が重要です。
質問者の式「(-2x + 3)(-3x + 4)」を展開すると、次のようになります。
(-2x + 3)(-3x + 4) = 6x² – 17x + 12
確かに展開すると元の式に一致しますが、これは符号が逆になっただけの別の因数分解です。実際に、因数分解の順序や符号が異なるだけで、数学的には同じ式を表しています。
したがって、この答えも間違いではなく、正しい因数分解の形「(2x – 3)(3x – 4)」の符号を逆にしたものです。つまり、両方の因子の符号を反転させた場合も、元の式と等価な式にはなるということです。
3. なぜ符号を反転させると別の形になるのか？
因数分解の際に符号を反転させても、式は変わりません。なぜなら、例えば「(a)(b) = (−a)(−b)」というように、両方の因子の符号を反転させても、その積は同じだからです。この特性を利用して、正しい答えの符号を反転させた式を得ることができます。
ただし、数学的な表記としては、符号が一致していることが望ましいため、一般的には「(2x – 3)(3x – 4)」という形を使います。
4. まとめ
6x² – 17x + 12 の因数分解は、(2x – 3)(3x – 4)が正解です。しかし、質問者が出した答え「(-2x + 3)(-3x + 4)」も符号を反転させただけで数学的に等価な式であるため、間違いとは言えません。因数分解では符号や係数の扱いが非常に重要であり、正しい答えにたどり着くためには、計算を慎重に行うことが大切です。
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