高校数学の問題「3x^2 + 2x – 5 = (ax + b)(cx + d)を満たすa, b, c, dの組を見つける時、ac＝3を満たす整数の組として、a＝1, c＝3だけを考えればよい理由」について解説します。本記事では、なぜa=1, c=3だけを考えればよいのかを詳しく説明します。
問題の理解
まず、問題の式「3x^2 + 2x – 5 = (ax + b)(cx + d)」を展開して整理し、a, b, c, dの値を求める問題です。この形では、a, b, c, dが整数であることが求められています。
与えられた式において、(ax + b)(cx + d)を展開すると、次のようになります。
(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd
展開と比較
展開した式「acx^2 + (ad + bc)x + bd」を、元の式「3x^2 + 2x – 5」と比較します。比較することで、次の3つの式が得られます。
- ac = 3
- ad + bc = 2
- bd = -5
これらの式を使ってa, b, c, dの値を求めていきます。
ac = 3の理由
まず、ac = 3という式から、aとcの積が3である必要があることがわかります。aとcは整数であるため、aとcに対して、積が3になる組み合わせを考えます。
3の整数の約数は1, 3, -1, -3です。したがって、aとcの組み合わせは、(a = 1, c = 3) または (a = 3, c = 1) などの選択肢が考えられます。しかし、この問題ではa = 1, c = 3が指定されています。
なぜa = 1, c = 3だけを考えればよいのか
問題文で「ac = 3を満たす整数の組として、a = 1, c = 3だけを考えればよい」とあるのは、問題が求めるaとcの組み合わせが「a = 1, c = 3」の場合であるからです。実際にこの組み合わせを使って解を進めていきます。
さらに、a = 1, c = 3の場合にbd = -5という式も満たされるため、他の組み合わせを考える必要はありません。このため、a = 1, c = 3の組み合わせを使って解くことができます。
まとめ
問題「3x^2 + 2x – 5 = (ax + b)(cx + d)」を解く際、a = 1, c = 3が解に適した組み合わせである理由は、ac = 3という条件に基づき、他の組み合わせを考慮せずに進めることができるためです。このように、問題の条件を満たすa, cの組み合わせを選ぶことで、解が明確に絞られます。
コメント