実数kの範囲を求める問題：不等式の解法とその解説

この問題では、与えられた不等式を満たす実数kの範囲を求める問題について解説します。問題は二つの条件から成り立っており、それぞれの不等式に基づいてkの値を求めます。本記事では、この問題を順を追って解説し、どのように解くかを丁寧に説明します。

問題の整理

問題は以下の二つの不等式を解くものです。

まずはこれらの不等式が意味するところを整理して、解く方法を考えていきます。

最初の不等式は、二次不等式であるkx^2-kx+2>0を解くものです。まず、この式がすべての実数xに対して成り立つためには、判別式が負である必要があります。判別式を求めて、kの範囲を絞り込みます。

kx^2-kx+2を二次式として考えたとき、その判別式Δは次のように求められます。

Δ = (-(-k))^2 - 4(k)(2) = k^2 - 8k

この判別式Δが負であれば、二次方程式は実数解を持たず、常に正の値を取ります。よって、k^2 – 8k < 0という不等式を解くことが求められます。

この不等式を解くと、kの範囲は0 < k < 8となります。この範囲において、二次不等式はすべての実数xについて成り立ちます。

次に、二つ目の不等式x^2-3x+4

不等式x^2 – 3x + 4 < kxを移項して整理すると、次のようになります。

x^2 - 3x + 4 - kx < 0

これを更に整理すると、次のようになります。

x^2 - (k + 3)x + 4 < 0

この式が成り立つためには、xに関して実数解が存在する必要があります。よって、この式の判別式を求めて、kの範囲を求めます。

判別式Δは次のように計算できます。

Δ = (-(k + 3))^2 - 4(1)(4) = (k + 3)^2 - 16

Δが0以上である必要があるので、(k + 3)^2 - 16 ≥ 0を解くことが求められます。これを解くと、k ≥ -1 または k ≤ -5 となります。

(1)と(2)の条件を満たすkの範囲を求めるためには、両方の条件を満たす部分を取る必要があります。

(1)の条件では、0 < k < 8である必要があり、(2)の条件ではk ≥ -1 または k ≤ -5となります。

したがって、(1)と(2)の両方を満たすkの範囲は、0 < k < 8となります。

与えられた不等式を解くことで、実数kの範囲は0 < k < 8であることが分かりました。この範囲では、すべての実数xに対して最初の不等式が成り立ち、また二つ目の不等式も成立します。問題を解く際は、まず不等式を整理し、判別式を使って解を求めることが重要です。