一次関数 y = -4x + 8 のグラフが x 軸、y 軸と交わる点をそれぞれ A、B としたとき、線分 AB 上を動く点 P(x, y) に対して、線分 OP の長さの最小値を求める問題です。この記事では、この問題を段階的に解説していきます。
一次関数のグラフと交点の求め方
まず、一次関数 y = -4x + 8 のグラフを考えます。このグラフは直線で、x 軸との交点 A と y 軸との交点 B を求めることができます。
x 軸との交点 A は、y = 0 のときの x の値です。y = 0 を代入して解くと、x = 2 となります。したがって、A の座標は (2, 0) です。
y 軸との交点 B は、x = 0 のときの y の値です。x = 0 を代入すると、y = 8 となります。したがって、B の座標は (0, 8) です。
点 P(x, y) が線分 AB 上を動くときの距離
次に、点 P(x, y) が線分 AB 上を動くとき、線分 OP の長さを求めます。線分 OP の長さは、点 O(0, 0) と点 P(x, y) の距離に相当します。
点 O と点 P の距離は、距離公式を用いて計算できます。距離公式は次のようになります：
OP = √(x^2 + y^2)
点 P(x, y) の座標の表現
次に、点 P(x, y) が線分 AB 上を動くことから、点 P の座標 (x, y) を一次関数 y = -4x + 8 に基づいて表すことができます。つまり、y = -4x + 8 となります。
したがって、点 P の座標は (x, -4x + 8) です。この座標を距離公式に代入して、OP の長さを最小化する値を求めます。
最小値を求める方法
OP の長さは次の式で表せます：
OP = √(x^2 + (-4x + 8)^2)
この式を展開して整理します：
OP = √(x^2 + (16x^2 – 64x + 64))
これを簡略化すると：
OP = √(17x^2 – 64x + 64) となります。
最小値を求めるためには、この式の最小値を求める必要があります。最小値を求めるために、式の中身である 17x^2 – 64x + 64 を最小化します。これは平方完成を使って求めることができます。
平方完成による最小化
17x^2 – 64x + 64 の平方完成を行います。まず、x の係数を 2 で割って平方します。計算すると、最小値は x = 2/17 であることがわかります。
最小値の OP の長さを求めると、OP = √(17x^2 – 64x + 64) の最小値が得られます。最終的に、この最小値は OP = 4 となります。
まとめ
一次関数 y = -4x + 8 のグラフと x 軸、y 軸との交点を求め、点 P(x, y) が線分 AB 上を動くとき、線分 OP の長さの最小値を求めました。最小値は OP = 4 であり、この解法は平方完成を利用して最小値を導き出す方法を示しました。
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