この問題では、nを3以上の自然数として、x^n – 1を(x – 1)^3で割った余りを求める方法を解説します。解説の中で触れられている「x^n – 1 = (x – 1)^3 Q(x) + ax^2 + bx + c」という恒等式を微分することによって、余りを求める別解を使った計算過程を詳しく説明します。
問題の設定と恒等式の導入
まず、与えられた問題を簡単に整理しましょう。nを3以上の自然数として、x^n – 1を(x – 1)^3で割った時の余りを求めるというものです。通常、余りは次のように表現できます。
x^n – 1 = (x – 1)^3 Q(x) + R(x)
ここで、R(x)は余りであり、R(x)の次数は(x – 1)^3よりも低く、したがってR(x)はax^2 + bx + cの形を取ることになります。
微分を用いた別解のアプローチ
この問題の解法として、まず与えられた恒等式
x^n – 1 = (x – 1)^3 Q(x) + ax^2 + bx + c
を微分します。微分すると、両辺は次のようになります。
d/dx (x^n – 1) = d/dx [(x – 1)^3 Q(x) + ax^2 + bx + c]
まず、左辺を微分すると、x^n – 1の微分はnx^{n-1}となります。
次に右辺を微分します。ここで、積の微分法則を用いて、(x – 1)^3 Q(x)の微分を行います。
d/dx [(x – 1)^3 Q(x)] = 3(x – 1)^2 Q(x) + (x – 1)^3 Q'(x)
これを含む式は次のようになります。
nx^{n-1} = 3(x – 1)^2 Q(x) + (x – 1)^3 Q'(x) + 2ax + b
余りの計算
微分した後、x = 1を代入していきます。これにより、Q(x)やQ'(x)の項が消え、余りの項ax^2 + bx + cに関する情報が得られます。
具体的にx = 1を代入すると、式は次のように簡単化されます。
n = 3(0) + 0 + 2a + b
ここから、aとbに関する方程式を得ることができます。さらに、2回目の微分を行い、x = 1を代入することでcに関する方程式も得られ、最終的に余りの値を計算できます。
具体例での計算過程
例えば、n = 4の場合、x^4 – 1を(x – 1)^3で割った余りを求める手順を見てみましょう。
まず、x^4 – 1 = (x – 1)^3 Q(x) + ax^2 + bx + cという形を使います。次に微分していき、x = 1を代入することでa、b、cの値を求めます。具体的には、微分後の式に代入していくと、次のように計算が進みます。
n = 4の場合の余りを計算すると、a = 2, b = -2, c = 1といった結果が得られ、最終的に余りは2x^2 – 2x + 1となります。
まとめ
この問題では、x^n – 1を(x – 1)^3で割った余りを求める方法として、与えられた恒等式を微分し、その結果をx = 1で代入して計算する方法を示しました。この別解を使うことで、余りの求め方が明確になり、より深く問題を理解することができます。
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