微分方程式 (1+x)y”+xy’-y=0 の解法

微分方程式 (1+x)y” + xy’ – y = 0 を解く方法について解説します。この方程式は線形の二階微分方程式であり、変数分離法や適切な変換を用いることで解くことができます。ここでは、その解法の過程をステップごとに説明します。

微分方程式の形式

まず、この微分方程式の形式を確認しましょう。方程式は (1+x)y” + xy’ – y = 0 という形です。ここで、y” は二階微分、y’ は一階微分を表しています。これは、独立変数 x に関して y の変化を表す方程式です。

この方程式は、二階の線形常微分方程式であり、係数が変数 x に依存しているため、解法には適切な変数変換や補助的な方法が必要になります。

変数変換による解法

この微分方程式を解くために、変数変換を行います。まず、(1+x)y” + xy’ – y = 0 の形を簡単にするために、y = x^r のような解を仮定します。

仮定した解を代入していくつかの微分を計算し、その結果を元に解を求める方法です。まず、y = x^r とおき、y’ = r * x^(r-1)、y” = r * (r-1) * x^(r-2) となります。これを元の微分方程式に代入すると、定数 r を含む二次方程式が得られます。

特性方程式の解

代入の結果、得られる特性方程式は r(r-1) + r – 1 = 0 となります。この方程式を解くと、r = 1 または r = -1 という解が得られます。

したがって、一般解は y = C1 * x + C2 * x^(-1) となります。ここで、C1 と C2 は任意定数です。この解を元に、初期条件が与えられた場合には、C1 と C2 の値を決定することができます。

まとめ

微分方程式 (1+x)y” + xy’ – y = 0 の解法は、適切な変数変換と特性方程式を利用して求めることができます。この場合、一般解は y = C1 * x + C2 * x^(-1) という形になります。微分方程式の解法においては、変数変換と特性方程式を用いた解法が有効であることがわかります。