y = sin(x) + 2cos(x) の値域を求める方法

関数 y = sin(x) + 2cos(x) の値域を求めるためには、まずその式の振る舞いを理解する必要があります。sin(x) と cos(x) はどちらも周期関数で、特定の範囲内で変動します。ここでは、この関数の値域を求める方法をステップごとに解説します。

sin(x) と cos(x) の特性

sin(x) と cos(x) の値はそれぞれ -1 から 1 の間で変動します。これらの関数は周期的に変動し、波のような形をとります。特に、sin(x) は0から始まり、±1を取る点で最大・最小を迎えます。一方、cos(x) は1から始まり、±1を取ります。

この2つの関数が合わさることにより、新たな値域が形成されます。今回は、cos(x) の倍数が 2 であるため、振幅が大きくなります。

関数 y = sin(x) + 2cos(x) の最大値と最小値を求めるには、この式を一つの三角関数に変換する方法が有効です。次に示すように、加法定理を使って合成できます。

まず、y = sin(x) + 2cos(x) を、y = Rsin(x + θ) の形に変形します。ここで R は振幅、θ は位相を表します。この形に変換するためには、以下の式を使います。

R = √(1² + 2²) = √5、tan(θ) = 2/1 となります。この結果、y = √5sin(x + θ) の形に変形できます。

関数 y = √5sin(x + θ) の値域は、sin(x + θ) の値域に √5 を掛けたものになります。sin(x + θ) は -1 から 1 の間で変動するので、この関数の値域は、-√5 から √5 の間であることがわかります。

したがって、y = sin(x) + 2cos(x) の値域は、[-√5, √5] となります。

関数 y = sin(x) + 2cos(x) の値域を求めるには、まず合成関数の振幅と位相を求め、sin(x) の振幅を使って値域を導きました。最終的に、この関数の値域は [-√5, √5] です。このような問題では、三角関数の合成や変換を使って、効率的に解を求めることができます。