D=k²+2k+9 の不等式 D＞0 を示す方法と虚数解についての解説

数学Ⅱの問題で、D=k²+2k+9 の不等式 D＞0 を示す方法について解説します。この問題では、平方完成や解の公式を使う方法と、D=0のときに解を出す方法についての違いと、それがなぜ虚数解につながるのかについても説明します。

1. 平方完成を使った解法

まず、平方完成を使ってD=k²+2k+9 の式を解く方法を見てみましょう。平方完成を使うことで、簡単にDが常に正であることが示せます。式は次のように進めます。

D = k² + 2k + 9

ここで、k² + 2k の部分を平方完成します。k² + 2k は (k+1)² – 1 です。したがって、Dは次のように書き換えられます。

D = (k+1)² – 1 + 9 = (k+1)² + 8

この式から、(k+1)² は常に0以上であることがわかります。したがって、Dは8以上となり、D＞0が成り立ちます。

次に、D=0のときにkを解く方法を考えます。この方法では、D=k²+2k+9 = 0 の解を求めます。

k² + 2k + 9 = 0

この二次方程式を解くために、解の公式を使います。

k = (-2 ± √(2² – 4×1×9)) / 2×1

k = (-2 ± √(4 – 36)) / 2 = (-2 ± √(-32)) / 2

ここで、√(-32) は虚数解になります。したがって、kには虚数解が出ます。

D=0 の場合に虚数解が出るのは、式の中に負の数が平方根に現れるからです。この場合、(2² – 4×1×9) の部分で、4 – 36 = -32 という負の数が出てきます。負の数の平方根は実数では定義できないため、虚数解が生じます。

したがって、D＞0 を示す場合に、D=0 の解を求めても虚数解が出てしまうため、正しい結果を得るためには平方完成を使って直接示す方法が適切です。

式 D=k²+2k+9 の場合、平方完成を使うことで、Dが常に正であることを簡単に示すことができます。一方、D=0 の解を求めると虚数解が出てしまうため、D＞0 を示すためには平方完成を使う方法が最も簡単で確実です。この方法を理解することで、数学Ⅱの問題を効率よく解くことができます。