多項式の余りを求める問題の解法：x²-x-2で割った時の余り

この問題は、多項式の余りを求める問題です。具体的には、p(x)をx-2で割ったときの余りが3、x+1で割ったときの余りが6であることが与えられています。この情報をもとに、p(x)をx²-x-2で割ったときの余りを求める方法について解説します。

与えられた条件から始める

まず、p(x)がx-2で割ると3、x+1で割ると6余るという情報を利用します。これらはそれぞれ、次の式として表せます。

これらの式は、p(x)がx=2のとき3、x=-1のとき6を返すことを意味しています。

次に、p(x)をx²-x-2で割ったときの余りを求めます。p(x)をx²-x-2で割ると、余りは一次の多項式であることがわかります。したがって、p(x)を次のように表すことができます。

p(x) = (x² – x – 2)q(x) + ax + b

ここで、q(x)は商、ax + bは余りを表します。今求めたいのは、この余り(ax + b)です。

p(2) = 3、p(-1) = 6という情報を使って、aとbの値を求めます。

これらの連立方程式を解くことで、aとbを求めることができます。

連立方程式を解くために、まず2つの式を整理します。

2番目の式からbを消去するために、1番目の式から2番目の式を引きます。

(2a + b) – (-a + b) = 3 – 6

3a = -3

したがって、a = -1です。

次に、a = -1を1番目の式に代入します。

2(-1) + b = 3

-2 + b = 3

b = 5

これで、余りはax + b = -x + 5となります。

p(x)をx²-x-2で割ったときの余りは、-x + 5です。この余りが求める答えとなります。

この問題では、与えられた条件を使ってp(x)の余りを求める方法を解説しました。重要なのは、p(x)がx²-x-2で割るときの余りは一次の多項式であり、それを求めるために連立方程式を解くことです。最終的に求めた余りは-x + 5です。