二次関数y=x^2+2(a-1)x-①の最小値を求める方法と場合分けの解説

二次関数の最小値を求める問題では、平方完成を利用して関数の頂点を求めるのが基本的なアプローチです。しかし、場合分けの扱いが難しいと感じるかもしれません。この記事では、平方完成を使って二次関数の最小値を求める方法を、具体的なステップで解説します。

二次関数の平方完成の基本

まず、与えられた二次関数y=x^2+2(a-1)x-①を平方完成の形に変形します。平方完成を行うことで、関数の頂点（最小値または最大値が発生する点）を見つけることができます。

平方完成の過程では、x^2+2(a-1)xの部分を(x+(a-1))^2の形に変換します。ここで重要なのは、平方完成後に、関数がどのように変化するかを理解することです。

平方完成を行うと、二次関数は次のように表されます。

y = (x + (a-1))^2 – (a-1)^2

この形に変換することで、頂点の座標がすぐにわかります。頂点はx = -(a-1)の位置にあり、y = -(a-1)^2となります。

最小値を求めるためには、関数の範囲を考慮する必要があります。問題で指定された範囲は-1 ≦ x ≦ 1です。この範囲内で、関数が最小値を取る場所を求めるためには、頂点の位置と範囲を考慮して、場合分けを行います。

場合分けでは、次の2つのケースを考えることができます。

具体的に考えると、頂点のx座標が-a+1であるため、これが-1 ≦ x ≦ 1の範囲内に含まれているかどうかを確認する必要があります。もし、頂点が範囲内にある場合、その点が最小値を取ります。

もし、頂点が範囲外にある場合は、最小値は範囲の端点で発生します。範囲の端点で関数の値を計算して、最小値を見つけます。

最小値を求める際には、平方完成を使って関数の頂点を求め、その頂点が範囲内にあるかどうかを判断します。頂点が範囲内にあればその値が最小値となり、範囲外であれば、範囲の端点で最小値を計算します。この方法で問題を解決できます。