a² + a + 1 が 5 で割り切れないことの背理法による証明

「a² + a + 1 が 5 で割り切れない」という問題を背理法を使って証明します。背理法とは、まず「逆のことが成り立つ」と仮定し、その仮定が矛盾することを示す方法です。この問題の場合、a² + a + 1 が 5 で割り切れると仮定して、その仮定が矛盾することを示します。

背理法の進め方

まず、a² + a + 1 が 5 で割り切れると仮定しましょう。つまり、a² + a + 1 = 5k（k は整数）とします。この仮定に基づいて、a² + a + 1 = 5k を使って矛盾を導くために、a の可能性を考察します。

場合分け: a の 5 に対する剰余

a は 5 の剰余であるため、a の値を 0 から 4 の間で場合分けして考えます。それぞれの場合について、a² + a + 1 が 5 で割り切れるかどうかを確認していきます。

・a ≡ 0 (mod 5) の場合: a² + a + 1 = 0² + 0 + 1 = 1

・a ≡ 1 (mod 5) の場合: a² + a + 1 = 1² + 1 + 1 = 3

・a ≡ 2 (mod 5) の場合: a² + a + 1 = 2² + 2 + 1 = 7 ≡ 2 (mod 5)

・a ≡ 3 (mod 5) の場合: a² + a + 1 = 3² + 3 + 1 = 13 ≡ 3 (mod 5)

・a ≡ 4 (mod 5) の場合: a² + a + 1 = 4² + 4 + 1 = 21 ≡ 1 (mod 5)

仮定の矛盾

上記の計算結果から、a² + a + 1 は 5 の倍数でないことがわかります。したがって、最初の仮定「a² + a + 1 が 5 で割り切れる」は誤りであることがわかります。

まとめ

背理法を使って、a² + a + 1 は 5 で割り切れないことを証明しました。a の各値について計算を行った結果、いずれのケースでも a² + a + 1 は 5 の倍数にはならず、このことが仮定の矛盾を引き起こしました。この証明により、a² + a + 1 は決して 5 で割り切れないことが示されました。