ローヴェンハイム・スコーレムの定理は、数学基礎論における重要な転換点となりました。特に、この定理が登場したことで、フレーゲとヒルベルトの論争にどのような影響を与えたのかについて理解することは、20世紀の数学の進展を理解する上で重要です。本記事では、ローヴェンハイム・スコーレムの定理がフレーゲとヒルベルトの立場にどのような打撃を与えたのかを解説します。
ローヴェンハイム・スコーレムの定理の概要
ローヴェンハイム・スコーレムの定理は、1915年から1920年にかけて発表され、数学的公理系が意図するモデルの「サイズ」を固定できないことを示しました。この定理は、特に「公理系による完全な記述」の可能性を問うものであり、公理系が意図した対象の大きさ（濃度）を必ずしも保証できないことを明らかにしました。
簡単に言うと、この定理は、どんなに厳密に定義された公理系でも、必ずしもその公理が描こうとする「対象」や「モデル」のサイズ（濃度）を特定できないことを示しています。これにより、ヒルベルトとフレーゲが信じていた理論の前提が揺らぎました。
ヒルベルトの公理主義への打撃
ヒルベルトは、公理によって数学的構造を一意に記述できると考えていました。しかし、ローヴェンハイム・スコーレムの定理によって、この「公理系による支配」の考え方に大きな問題が浮かび上がります。具体的には、実数を記述する公理系であっても、そのモデルが必ずしも「実数」としての大きさを持つわけではなく、「可算無限」のサイズのモデルを持つ可能性があることが示されました。
この結果、ヒルベルトの「公理系による数学的対象の完全な支配」という考え方は、実数のような対象に対しては「失敗」に終わることが明らかになりました。これにより、公理体系がどんなに厳密であっても、その中で「対象」の濃度（サイズ）を決定することができないという点が、数学基礎論における重要な転機となったのです。
フレーゲの言葉と対象の乖離
フレーゲは、言葉には特定の意味があり、公理はその意味を正確に表現すべきだと考えました。しかし、ローヴェンハイム・スコーレムの定理が示す通り、同じ公理（言葉）から全く異なる「意味（モデル）」が無数に作られる可能性があります。この点がフレーゲの哲学における深刻な問題を引き起こしました。
フレーゲが求めた「絶対的な数学的実在」へのアクセスは、この定理によって否定されました。公理に従って数学的対象を記述しようとしても、その対象が必ずしも一意に定まるわけではなく、言葉（公理）が示す「対象」そのものが曖昧になってしまうことが明らかになったのです。
論争の変化と新たな視点
ローヴェンハイム・スコーレムの定理の登場により、フレーゲとヒルベルトの論争は「真理か形式か」という二項対立から、より深い「モデル論（意味論）」の問題に移行しました。これは、形式主義と実在論の限界を明確に示す出来事でした。
スコーレム自身は、この定理によって集合論や基礎論が「相対的なものでしかない」という立場を取るようになり、ヒルベルトの形式主義にもフレーゲの実在論にも懐疑的な態度を示しました。特に、モデルの「サイズ（濃度）」を固定することができないという問題が、数学的対象をどう捉えるかの根本的な再考を促しました。
スコーレムの悲観主義と全単射の問題
スコーレムは、集合論が持つ基礎的な問題に対して悲観的な見方を持ちました。彼は、モデルが定まらない以上、数学的対象を決定的に固定することは不可能であると考えました。ここで重要なのが、「全単射（濃度の保存）」という概念です。
全単射を用いれば、モデルの濃度を保存することができますが、ローヴェンハイム・スコーレムの定理は「形式体系だけではその全単射性すら保証できない」ことを突きつけました。これにより、数学的対象の大きさや多様性を「固定する」という試みが根本的に難しいことが明らかになったのです。
まとめと現代数学への影響
ローヴェンハイム・スコーレムの定理は、フレーゲとヒルベルトの論争に大きな影響を与え、数学基礎論の考え方を根本から問い直しました。定理が示した「公理系ではモデルの大きさを固定できない」という事実は、数学的対象の多様性を理解するために必要な新たな視点を提供しました。この変化が、現代数学におけるモデル論や意味論の発展に大きな影響を与えました。
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