集合論における問題で、与えられた2つの命題が同値であるかどうかを確認することはよくあります。特に、関係Gがどのように定義され、任意のx∈Aに対して一意的なy∈Bが対応する場合についての問題が出題されることがあります。この問題では、与えられた2つの式が同値であるかを示すことが求められています。
問題の設定と式の理解
まず、以下の2つの式を見てみましょう。
- G⊂A×B∧∀x∈A∃!y∈B((x,y)∈G)
- G⊂A×B∧∀x∈A∃!y((x,y)∈G)
これらはどちらも、AからBへの一意的な関係を表現していますが、後者の式では、yがBに属していることが省略されています。これが同値であるかどうかを確認するためには、次の2つの確認が必要です。
同値性の証明方法
式の同値性を示すためには、次の2つを確認します。
- G⊂A×B∧∀x∈A∃!y∈B((x,y)∈G) ⇒ ∀x∈A∃!y((x,y)∈G)
- G⊂A×B∧∀x∈A∃!y((x,y)∈G) ⇒ ∀x∈A∃!y∈B((x,y)∈G)
それぞれの証明方法について順を追って見ていきます。
第一の証明：G⊂A×B∧∀x∈A∃!y∈B((x,y)∈G) ⇒ ∀x∈A∃!y((x,y)∈G)
最初の式では、x∈Aに対して必ずy∈Bが一意的に対応することが示されています。これにより、後者の式でもyがBに属することは自明であり、yが一意的であるという性質も引き継がれます。
第二の証明：G⊂A×B∧∀x∈A∃!y((x,y)∈G) ⇒ ∀x∈A∃!y∈B((x,y)∈G)
こちらの式も同様に、yがBに属することを示すためには、xに対して一意的なyが存在し、それがBの要素であることを確認する必要があります。これにより、式の右側が成立することが確認できます。
結論
上記の証明から、与えられた2つの式は同値であることが示されました。つまり、yがBに属していることを明記するかどうかは、この場合重要ではなく、式の意味は同じであることが分かります。
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