この問題では、行列Aが対角化可能かを調べ、もし可能ならば対角化の過程を解説します。行列Aの固有値は求めたとのことですが、その後の手順が分からないという点について、具体的な解法を解説します。
1. 行列Aの固有値を求める
まず、与えられた行列Aは以下の通りです。
A = [7, -6; 3, -2]
固有値を求めるには、行列Aの固有方程式 det(A – λI) = 0 を解く必要があります。ここで、λは固有値、Iは単位行列です。計算を行うと、固有値は λ₁ = 3 と λ₂ = 1 になります。
2. 固有ベクトルの計算
次に、各固有値に対応する固有ベクトルを求めます。固有値 λ₁ = 3 の場合、(A – 3I) の行列式がゼロである必要があります。これを解くと、固有ベクトル v₁ = [1, 1] が得られます。
同様に、固有値 λ₂ = 1 に対応する固有ベクトルを求めると、v₂ = [-2, 3] となります。
3. 行列Aの対角化
行列Aの固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列Pを構成します。
P = [1, -2; 1, 3]
次に、行列AをPとPの逆行列を用いて対角化します。具体的には、A = P * D * P^(-1) という式を使います。ここで、Dは固有値を対角成分とする対角行列です。
4. 結論と解説
したがって、行列Aは対角化可能であり、対角化後の行列Dは以下のようになります。
D = [3, 0; 0, 1]
このようにして、行列Aの対角化が完了します。
以上の手順で、与えられた行列Aが対角化可能であることが確認できました。問題を解く際には、固有値を求めた後の固有ベクトルの計算と、行列P、Pの逆行列を使った対角化が重要です。
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