17で割ると4余り、19で割ると18余る自然数の最小値を求める方法

「17で割ると4余り、19で割ると18余る自然数」の最小値を求める問題について解説します。このような問題は「同時に成立する合同式を解く」問題です。今回は、合同式を使った解法を紹介します。

問題の条件を式に表す

問題文を式に変換すると、以下の2つの合同式が得られます。

ここで、xは求める自然数です。この問題では、xがこれら2つの条件を満たす最小の自然数を求めます。

このような問題を解くには、中国剰余定理を使うことが一般的です。中国剰余定理では、互いに素な2つの数に関する合同式が与えられたとき、その解を求める方法を提供します。ここでは、17と19は互いに素なので、この方法を適用することができます。

まず、x ≡ 4 (mod 17)という条件から、xは17k + 4の形で表されます。次に、これをx ≡ 18 (mod 19)に代入し、kを求めます。

まず、x = 17k + 4 とおき、これを x ≡ 18 (mod 19) に代入すると、次の式が得られます。

17k + 4 ≡ 18 (mod 19)

これを解くために、まず両辺から4を引きます。

17k ≡ 14 (mod 19)

次に、17と19は互いに素なので、17の逆数を求めて両辺に掛けます。17の逆数は19において13です。したがって。

k ≡ 14 × 13 (mod 19)

k ≡ 182 (mod 19)

182 ÷ 19 = 9余り11ですから、k ≡ 11 (mod 19)となります。

したがって、k = 19m + 11 となります。

次に、k = 19m + 11 を元の式 x = 17k + 4 に代入すると、x = 17(19m + 11) + 4 となり、これを計算します。

x = 17 × 19m + 17 × 11 + 4 = 323m + 191 + 4 = 323m + 195

最小のxはm = 0のときの195です。

したがって、17で割ると4余り、19で割ると18余る最小の自然数は195です。

「17で割ると4余り、19で割ると18余る自然数の最小値」は195です。このような問題は合同式を解くことで求めることができ、中国剰余定理を使って効率的に解決できます。問題を理解し、式を立てることが解答への第一歩となります。