二元一次不定方程式の整数解の求め方：8x + 11y = 0の例で解説

二元一次不定方程式は、中学・高校数学で扱われる重要なテーマです。整数解を求める際、符号やパラメータの扱い方を理解しておくことが重要です。この記事では、8x + 11y = 0 の整数解を例に、解の導き方と符号の意味を解説します。

不定方程式とは

不定方程式は、未知数が複数あり、整数解を求める方程式です。整数解が無数に存在する場合があり、パラメータを使って表現するのが一般的です。

今回の例、8x + 11y = 0 では、x と y が整数で成り立つ組を探します。

まず、8x + 11y = 0 を y について解くと、y = -8/11 x となります。整数解を得るには、x が 11 の倍数である必要があります。

したがって、x = 11n とおくと、y = -8n となります。ここで n は任意の整数です。

x = -11n, y = 8n という表現も、n を置き換えれば元の形に一致します。例えば、n’ = -n と置くと、x = -11n = 11n’, y = 8n = -8n’ となり、元の一般解 x = 11n, y = -8n と同じです。

つまり、符号の取り方は自由ですが、整数解を表すパラメータは1つで十分で、符号を変えただけでは新しい解とは見なされません。

8x + 11y = 0 の整数解は、x = 11n, y = -8n (n は整数) と表すのが標準的です。符号の反転やパラメータの置き換えによっても同じ解集合を表すことができます。

重要なのは、全ての整数解がこの形で表現できることです。

二元一次不定方程式の整数解は、比例関係とパラメータを理解することで求められます。符号を反転させても、パラメータを適切に変えると同じ解集合を表すことができます。8x + 11y = 0 の場合、x = 11n, y = -8n で全ての整数解を表現可能です。