複素数の指数表現と実数条件について

この問題では、複素数の指数形式を使用して、特定の条件下で与えられた式が実数となる必要十分条件を求めています。具体的には、(1+2i)^m + (3+4i)^n が実数であるための条件についてです。

問題の整理

与えられた式 (1+2i)^m + (3+4i)^n が実数となるためには、mとnの値に関する条件を満たす必要があります。まずは、この式が実数であるための必要条件を導出します。

複素数の指数表現

(1+2i) や (3+4i) といった複素数は、極座標形式で表現することができます。それぞれの複素数の絶対値と偏角を求め、指数形式で表現します。

(1+2i) を極座標形式で表すと、絶対値 |1+2i| = √(1^2 + 2^2) = √5 となり、偏角 α は tan^-1(2/1) で求めることができます。同様に、(3+4i) も同様の方法で表現できます。

条件を満たすmとn

与えられた条件に従って式を整理すると、(1+2i)^m + (3+4i)^n が実数となるためには、m=4k、n=2k のときに成り立つことがわかります。この条件を満たすとき、複素数同士の加算結果は実数となります。

結論

したがって、(1+2i)^m + (3+4i)^n が実数となる必要十分条件は、m=4k および n=2k であることが確認されました。この結果を理解し、今後の問題解決に役立ててください。