微分方程式 xy'' + 2y' + 4xy = 0 の解法とステップ解説

今回は微分方程式 xy” + 2y’ + 4xy = 0 の解法について解説します。高校・大学初学者向けにステップごとに丁寧に説明しますので、微分方程式の理解に役立ててください。

1. 微分方程式の形を確認する

与えられた式は次の通りです。

xy” + 2y’ + 4xy = 0

これは 2 階の線形微分方程式で、y” の係数が x になっています。この形から「変数分離法」や「冪級数法」を使う準備をします。

まず、標準形にします。両辺を x で割ると。

y” + (2/x) y’ + 4 y = 0

この形は「オイラー・コーシー型」ではなく、定数係数の形ではありませんが、特定の関数形 y = e^(λx^n) を仮定することで解くことが可能です。

ここでは y = Σ a_n x^n の形で解を仮定します。

y = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + …

y’ = a_1 + 2 a_2 x + 3 a_3 x^2 + …

y” = 2 a_2 + 6 a_3 x + 12 a_4 x^2 + …

これを微分方程式に代入して係数比較を行います。

y” + (2/x)y’ + 4y = 0 に代入すると、各 x^n の係数が 0 になるように a_n の漸化式を求めます。例えば n ≥ 0 に対して。

(n+2)(n+1) a_{n+2} + 2(n+1) a_{n+2} + 4 a_n = 0 → (n+2)(n+3) a_{n+2} + 4 a_n = 0

この漸化式を使うことで全ての a_n を a_0, a_1 から求めることができます。

漸化式を解くと、解は次のような冪級数として表されます。

y(x) = a_0 (1 – (2/3)x^2 + (4/15)x^4 – …) + a_1 (x – (2/5)x^3 + (4/35)x^5 – …)

この形は、初期条件に応じて a_0 と a_1 を決定して特定解を得ることができます。

・与えられた微分方程式は 2 階線形で x に依存する係数を持つ。
・両辺を x で割って標準形に変形。
・冪級数法（または特定の試行関数）を使うと漸化式を導出可能。
・漸化式から係数を求め、一般解は冪級数として表される。

これで xy” + 2y’ + 4xy = 0 の解法の流れを理解でき、初期条件が与えられれば特定解も求められます。