微分方程式 x^2y'' + 2y' + xy = 0 の解法とステップ解説

今回は微分方程式 x^2y” + 2y’ + xy = 0 の解法について解説します。この 2 階線形微分方程式は x に依存する係数を持つため、標準的な方法で解くためのステップを順に説明します。

1. 微分方程式の形を確認

与えられた式は。

x^2 y” + 2y’ + x y = 0

両辺を x^2 で割ると。

y” + (2/x) y’ + (1/x) y = 0

これで係数が x の関数であることが明確になります。

y = Σ a_n x^n として、y’, y” を展開します。

y = Σ a_n x^n, y’ = Σ n a_n x^{n-1}, y” = Σ n(n-1) a_n x^{n-2}

これを微分方程式に代入し、各 x^n の係数が 0 になるように漸化式を導きます。

代入すると。

Σ [n(n-1) + 2n] a_n x^{n-2} + Σ a_n x^{n-1} = 0 → Σ (n^2+n) a_n x^{n-2} + Σ a_n x^{n-1} = 0

項を揃えて、漸化式を求めます。例えば、x^k の係数比較により a_{n+1} と a_n の関係が得られます。

漸化式を解くことで、解は冪級数として表されます。

y(x) = a_0 (1 – (1/2)x + (1/6)x^2 – …) + a_1 (x – (1/3)x^2 + (1/12)x^3 – …)

この形で初期条件に応じて a_0, a_1 を決めることで特定解が得られます。

・x^2y” + 2y’ + xy = 0 は x に依存する係数を持つ 2 階線形微分方程式。
・両辺を x^2 で割り標準形に変形。
・冪級数解を仮定して漸化式を導出。
・一般解は冪級数として表され、初期条件から特定解を求められる。