線形代数の固有値について：n次方程式と解の個数

線形代数の学習において、固有値を求める過程は非常に重要です。特に、固有値を求める際に現れるn次方程式の解が複素数を含む場合について、疑問を持つ方が多いです。この質問では、固有値に関連するn次方程式が解をn個持つ理由について解説します。

固有値の定義と方程式の成り立ち

まず、固有値を求める際に現れる方程式は、行列Aに対して「A−λI = 0」を解くものです。ここで、λは固有値、Iは単位行列です。この方程式が成立するためには、λが行列Aの固有値である必要があります。

質問者が言及しているように、n元の正方行列Aの固有値λを求めるために解くべき方程式は、λについてのn次方程式です。この方程式は、実数解または複素数解を持ちますが、代数の基本定理により、複素数も含めてn個の解を持つことが保証されています。

質問者が気にしている点は、複素数を解として許可していない場合に、なぜ解がn個になるのかという部分です。実際には、実数だけを考えた場合、解がn個に達することは保証できません。しかし、複素数解を含めると、代数方程式は必ずn個の解を持つことになります。

実数解だけを求める場合もありますが、一般に線形代数では複素数解も考慮します。特に、実数解だけでは解けない場合でも、複素数解を考慮することで、解がn個に達するということが理解できます。

固有値を求めるn次方程式は、実数解と複素数解を含むため、必ずn個の解を持つことが保証されています。複素数解を許容することで、解がn個になる理由が明確になり、数学的に正当化されます。