円Cと直線Lの交点と距離の計算方法：kを使った解析

この記事では、円Cと直線Lの関係について解説します。特に、円と直線が交わる条件や、直線と円の中心の距離を求める方法について、具体的に説明します。

問題の理解

問題は、円C：(x + 6)^2 + (x + 8)^2 = 4 と直線L：3x + 4y – 4k = 0 が与えられたものです。この式から、まず直線と円の中心の距離を求め、次に直線と円が交点を持つ条件を求めます。

直線と円の中心の距離を求めるためには、まず円の中心と直線の方程式を用いて距離の公式を適用します。円の中心は(-6, -8)です。この点と直線Lとの距離は、次の距離公式を使って求めることができます。

距離d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2) となり、直線Lの方程式3x + 4y – 4k = 0において、A = 3, B = 4, C = -4kを代入し、円の中心(-6, -8)をx, yに代入します。

d = |3(-6) + 4(-8) – 4k| / √(3^2 + 4^2) = |-18 – 32 – 4k| / √(9 + 16) = |-50 – 4k| / 5 となります。これが直線Lと円Cの中心の距離です。

直線Lと円Cが共有点を持つための条件は、直線Lと円Cの中心の距離が円Cの半径以下であることです。円Cの半径は√4 = 2です。

したがって、条件は次のようになります。

|-50 – 4k| / 5 ≤ 2

この不等式を解くことで、kの範囲を求めることができます。

不等式を解くと、次のようになります。

|-50 – 4k| ≤ 10

-60 ≤ -4k ≤ -40

したがって、kの範囲は。

15 ≤ k ≤ 10

この範囲において、直線Lと円Cが共有点を持つことが確認できます。

円Cと直線Lの関係について、直線と円の中心の距離を求め、直線と円が共有点を持つkの値の範囲を求める方法を解説しました。これにより、円と直線が交わる条件や、直線と円の中心間の距離の求め方を理解することができました。