1次不定方程式の解法：合同式と互除法の使い分けと問題解決のコツ

高一の数学で出てくる1次不定方程式の問題、特に「お菓子の個数を合わせる」ような問題でよく見かけます。合同式と互除法、どちらで解いたほうが効率的か、解法の選択に悩むこともあるでしょう。この記事では、これらの解法の特徴と、問題を解くためのコツについて解説します。

1次不定方程式の問題とは？

1次不定方程式とは、変数が1つの一次方程式で、解が無限に存在する場合の問題です。例えば、あなたが問われている問題では、70円と130円のお菓子を詰め合わせて、合計金額を1490円にするという問題です。このような問題では、数式を立てて、特定の条件を満たす整数の組み合わせを求める必要があります。

具体的には、x個の70円のお菓子とy個の130円のお菓子を使って、1490円にする組み合わせを求めます。これを数式にすると、次のような形になります。

70x + 130y = 1490

この1次不定方程式を解く方法として、合同式と互除法があります。それぞれの方法を理解し、適切に使い分けることが重要です。

合同式は、数を割った余りを使って問題を解く方法です。この方法では、係数の最大公約数が1である場合に解を求めるのが特徴です。合同式の方が計算がシンプルで、すぐに解ける場合があります。

互除法は、最大公約数を求める方法で、解を得るために有効な方法です。特に、式の係数の最大公約数が1でない場合に使うと効果的です。互除法は、数値が大きい場合でも比較的早く解が得られるため、状況に応じて使い分けることが大切です。

今回の問題では、70x + 130y = 1490 という式を解く必要があります。まず、70と130の最大公約数を求めます。最大公約数は10なので、まず両辺を10で割ります。

7x + 13y = 149 となります。次に、この方程式を解くためには、合同式を使って解くことができます。具体的には、xの値を求めるために、yの値を決めていく方法です。

合同式と互除法は、どちらが優れているかというわけではなく、問題の性質に応じて使い分けることが重要です。合同式は比較的簡単で計算も速いですが、場合によっては、互除法の方がより精度高く解を求められることもあります。

まずは合同式を使って解いてみて、もしうまくいかなければ、互除法に切り替えて解く方法を試してみましょう。問題によっては、両方を使い分けることが効果的です。

1次不定方程式を解くためには、合同式と互除法を上手に使い分けることがポイントです。まず合同式を使って簡単に解いてみて、計算が難しくなった場合には互除法を使うと効率的に解けることが多いです。最初は解き方に悩むかもしれませんが、慣れることでよりスムーズに解けるようになります。