電験数学の問題解法：交点と極限を求める方法

この問題は、nの値による交点の挙動や極限を求める問題です。まずは、問題を分かりやすく整理し、数学的な手法を使ってその解法を紹介します。以下では、問題文に従って順を追って解説していきます。

交点の求め方

最初に、関数アとイが第1象限で交わる点を求めます。これに関連する関数f(x) = e^n^x – 1 – e^xを使って、f'(x)とその増減を調べることで、交点を見つけることができます。最終的に、f(x)が単調増加であることから、交点はただ1つであることが分かります。

交点の座標を求める

次に、得られた交点の座標を(a_n, b_n)とし、lim [n→∞] a_nとlim [n→∞] n*a_nを求めます。f”(x)の増減を調べ、接線との関係を見ながら極限を計算することで、最終的にa_nの極限は0であり、na_nの極限はlog2となります。

面積の求め方

問題の最後に、グラフとy軸で囲まれた部分の面積を求めます。積分を使って面積S_nを求め、その極限を計算します。最終的に、lim [n→∞] nS_nは2log2 – 1となることが確認されます。

まとめ

この問題を解くことで、関数の交点、極限、積分を用いた面積の計算方法を学びました。しっかりとした数学的手法を使えば、どんな難解な問題でも解くことができます。