減衰曲線問題の解法と面積計算の方法について

今回の質問では、減衰曲線に関する積分問題に対して、詳細な計算手順とともに答えを提供します。特に、曲線y=e⁻ˣとy=e⁻ˣ|cosx|で囲まれた図形の面積を求めるための積分計算について解説します。

1. ∫e⁻ˣcosx dxの計算

まず、∫e⁻ˣcosx dxを求める問題です。まず、各辺を引いて式を整理します。 (e⁻ˣcosx)’ = -e⁻ˣcosx – e⁻ˣsinx、(e⁻ˣsinx)’ = -e⁻ˣsinx + e⁻ˣcosx です。これらを積分することで、最終的に得られる式はe⁻ˣ/2(sinx – cosx) + Cとなります。

2. a₁の値を求める

次に、a₁の値を求める問題です。a₁は、y=e⁻ˣとy=e⁻ˣ|cosx|で囲まれた部分の面積を意味します。積分の範囲を0≦x≦πとして、式を計算していきます。この結果、a₁ = 1/2(1 – e⁻ˣ – 2e⁻ˣ/2)となります。

3. aₙの一般式の計算

次に、aₙの値を求めます。ここでは、t = x – (n-1)πとおき、積分範囲を0〜πとします。計算を行うと、aₙの値は1/2(1 – e⁻ˣ – 2e⁻ˣ/2) × e⁻ˣ(n-1)π となります。

4. 無限級数の和の計算

最後に、lim[n→∞](a₁ + a₂ + a₃ +・・・+ aₙ)の計算です。aₙは初項1/2(1 – e⁻ˣ – 2e⁻ˣ/2)となり、これは等比数列の和として求めることができます。この結果、無限等比級数の和は(1 – e⁻ˣ – 2e⁻ˣ/2) / 2(1 – e⁻ˣ)となります。

まとめ

このように、減衰曲線に関する積分問題では、正確な積分計算と積分区間の理解が重要です。また、無限等比級数の和を求めることによって、最終的な結果が導かれます。これらの計算手順をしっかりと理解し、演習を重ねることで、問題に対する解法をしっかりと身につけることができます。