f(x) = 2acos2xの微分可能条件とa、bの範囲を求める方法

この問題では、関数f(x) = 2acos2x（x ≦ π）とe^(-1/(x-π)) + b（x > π）について、x = πでの微分可能性を求め、そのためのaとbの条件を導きます。さらに、微分係数を求める方法についても解説します。

1. 問題設定と連続性の確認

まず、x = πでの連続性を確認します。x = πでのf(x)は、左側の関数と右側の関数が一致する必要があります。具体的には、f(π)を計算し、左側と右側の極限を求めます。

x = πでの連続性を保つためには、b = 2aという関係が成り立つ必要があります。f(0) = a² – a/12 = 0 からa = 0またはa = 1/12という条件が得られます。それを基に微分を進めていきます。

次に、微分の定義を用いてx = πでの微分可能性を確認します。微分可能であるためには、右側極限と左側極限が一致する必要があります。ここでは、極限を計算し、解が0に収束することを確認します。

微分係数を求めるために、f'(π)を計算します。結果的にf'(π) = 0となり、x = πでの微分係数が0であることが分かります。

最終的に、aとbの必要十分条件はb = 2aであることが分かり、x = πでの微分係数は0であることが確認されました。