実数x、yの値を求める方法：x²-xy+y²=9の最大値・最小値の問題

今回は、実数x、yが満たす条件に基づいて、x²-xy+y²=9を使用した最大値・最小値の問題を解いていきます。この問題では、数学的な考察と方程式の変形を通じて、最適解を求める方法を解説します。

問題の設定

与えられた方程式は、x²-xy+y²=9です。目的は、x²+y²＋2(x+y)の最大値と最小値を求めることです。これを解くために、xとyに関する新しい変数t = x + y, s = xyを導入します。

まず、x²-xy+y²=9を変形します。t = x + y, s = xyとおいて、方程式を以下のように変形できます。

（x+y）² – 3xy = 9 → t² – 3s = 9 ①

また、x² + y² + 2(x + y)を求める式kは、次のように変形できます。

k = (x+y)² – 2xy + 2(x + y) → k = t² – 2s + 2t ②

次に、③と④の式に基づいて最大値と最小値を求めます。t² – 3s = 9を使ってsを計算し、kの式に代入します。最終的に、k = 1/3(t + 3)² + 3となります。

t² – 4s ≥ 0（判別式D）を使って定義域を求め、t = 6のとき最大値30、t = -3のとき最小値3が得られます。

最終的に、t = 6のとき、x = 3、y = 3が得られ、最大値は30となります。t = -3のとき、x = 0、y = -3またはx = -3、y = 0が得られ、最小値は3となります。

この問題を通じて、変数の導入と方程式の変形を用いて最大値と最小値を求める方法を学びました。最終的な解は、(x = 3, y = 3) のとき最大値30、(x = 0, y = -3)または(x = -3, y = 0) のとき最小値3です。