ユークリッドの互除法で最小公倍数を求める方法

ユークリッドの互除法は最大公約数を求める際によく使われますが、実は最小公倍数を求める方法にも利用することができます。最小公倍数を求めるための基本的な考え方と、ユークリッドの互除法をどのように応用するのかについて説明します。

ユークリッドの互除法とは？

ユークリッドの互除法は、2つの数の最大公約数を求める方法です。この方法では、1つの数をもう1つの数で割り、余りを求め、それを繰り返すことで最大公約数を求めます。

最小公倍数（LCM）は、2つの数の積をその最大公約数で割ることによって求めることができます。この関係を式で表すと次のようになります。

LCM(a, b) = (a * b) / GCD(a, b)

ユークリッドの互除法で最大公約数（GCD）を求めた後、そのGCDを使って最小公倍数を計算できます。例えば、a = 12, b = 15の場合、まずユークリッドの互除法を使ってGCDを求めます。

12 ÷ 15 = 0 余り 12

15 ÷ 12 = 1 余り 3

12 ÷ 3 = 4 余り 0

したがって、GCD(12, 15) = 3 となります。その後、次の式で最小公倍数を求めます。

LCM(12, 15) = (12 * 15) / 3 = 180 / 3 = 60

ユークリッドの互除法を使うことで、最大公約数を求め、その結果を利用して最小公倍数を計算することができます。この方法を覚えておくと、効率的に最小公倍数を求めることができ、数学の問題を解く際に非常に便利です。