連続する偶数の2乗の和が4の倍数で8の倍数でない理由の証明

この問題では、「連続する2つの偶数の2乗の和が4の倍数であるが、8の倍数でない理由」を示すことが求められています。特に、2(k² + k) + 1が奇数である理由と、なぜ8の倍数でないかについて説明します。

1. 偶数の2乗の和

まず、2つの連続する偶数を考えます。一般的に偶数は2nと2n+2の形で表されます。この2つの偶数の2乗を足した和は、(2n)² + (2n+2)²となります。これを展開すると、4n² + 4n + 4となり、最終的に4(n² + n + 1)という形になります。

2. 2(k² + k) + 1が奇数である理由

次に、2(k² + k) + 1が奇数である理由について考えます。k(k + 1)は必ず偶数です。なぜなら、kとk+1は連続する整数であり、1つは必ず偶数です。したがって、k² + kは偶数であり、その2倍である2(k² + k)も偶数です。さらに、2(k² + k)に1を加えると、必ず奇数となります。

3. なぜ8の倍数ではないのか

次に、なぜこの和が8の倍数でないのかを証明します。先ほどの式4(n² + n + 1)において、n² + n + 1が奇数である場合、和全体が4の倍数になりますが、8の倍数にはなりません。これを示すには、(n² + n + 1)の値が2で割った余りに注目し、奇数であることを確認する必要があります。

4. まとめ

この問題では、連続する2つの偶数の2乗の和が4の倍数であるが8の倍数でない理由を解説しました。式の展開と論理的な証明を通じて、なぜその和が8の倍数ではないのかが理解できたと思います。