この記事では、2つの円C1とC2と直線y=tの共有点についての問題を解く方法を解説します。特に、直線y=tが円と4つの共有点を持つtの値の範囲の求め方や、共有点をP、Q、R、Sとした時に線分PQ、RSの長さの和を求める方法に焦点を当てています。
円C1とC2の方程式を確認する
まず、与えられた2つの円の方程式を確認します。
C1：(x-6)^2 + (y-8)^2 = 4
円C1の中心は(6, 8)、半径は2です。
C2：(x+6)^2 + (y+8)^2 = 4
円C2の中心は(-6, -8)、半径も2です。これらの円は異なる位置にありますが、共通の直線y=tとの交点を求めます。
直線y=tと円の交点を求める
次に、直線y=tが両方の円と4つの交点を持つtの値の範囲を求めます。
直線y=tを各円の方程式に代入して、xについての2次方程式を解きます。まず、C1に代入すると。
(x-6)^2 + (t-8)^2 = 4
この式を展開して整理すると、xに関する2次方程式が得られます。同様に、C2にも代入して整理します。
2つの円と直線が交わるためには、それぞれの2次方程式が解を持つことが必要です。解が2つであれば交点が2つ、4つの交点を持つためには両方の円において解がそれぞれ2つずつ必要です。
tの値の範囲を求める
解の存在条件を満たすtの値を求めるには、判別式を用います。判別式が0より大きいとき、2次方程式は2つの異なる解を持ち、交点が存在します。判別式が0のとき、1つの解が得られ、接点になります。
2つの円が直線と4つの交点を持つためには、判別式が正であることを条件として、tの値の範囲を求めます。
線分PQ、RSの長さの和を求める
次に、2つの円の交点P、Q、R、Sを求め、PQ、RSの長さを計算します。交点のx座標を求めたら、それぞれの座標間の距離を求めることができます。
線分PQの長さは、PとQのx座標の差の絶対値として計算されます。同様に、線分RSの長さもRとSのx座標の差の絶対値として求めます。この2つの長さを足し合わせた値が求める結果となります。
まとめ
この問題では、2つの円と直線が交わる条件を判別式を用いて求め、さらに共有点をもとに線分の長さを計算する方法を解説しました。数学的な問題解決には、方程式の整理と解法の条件をしっかり理解することが重要です。
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