積分の計算: ∫[-1,1]Pn(x)Pn+1′(x)dx の解法

数学における積分問題は、特に直感的でない場合がありますが、適切な手法を用いれば効率的に解けます。ここでは、次の積分問題について解説します。

問題設定

与えられた積分式は、ポリノミアル関数Pn(x)とPn+1′(x)を含む積分です。式は次のようになります。

∫[-1,1]Pn(x)Pn+1′(x)dx

解法のアプローチ

まず、Pn(x)はn次の多項式、Pn+1′(x)は次のn+1次多項式の微分です。この積分を解くには、部分積分法を利用するのが一般的です。部分積分法の公式は次の通りです。

∫udv = uv – ∫vdu

部分積分を適用する

この式に対して、u = Pn(x)とdv = Pn+1′(x)dxを設定します。これにより、du = Pn'(x)dx、v = Pn+1(x)になります。部分積分を適用すると、次のように計算できます。

∫[-1,1]Pn(x)Pn+1′(x)dx = [Pn(x)Pn+1(x)](-1 to 1) – ∫[-1,1]Pn'(x)Pn+1(x)dx

計算結果

実際に計算を進めると、積分部分が消去される場合があります。このような場合、結果として積分値は0になることが多いです。最終的な計算結果を確認することが重要です。

まとめ

この問題の解法では、部分積分を使って積分を分解し、実際に計算を行うことで、最終的な答えが得られます。特に、ポリノミアル関数の積分に関しては、一般的な積分手法をうまく使いこなすことが重要です。