直積集合と関数の定義：Gが関数であるための条件

集合A, Bを用いた直積集合A×Bにおいて、部分集合Gが関数であるための条件を探ることは、集合論や数学の基礎理論において非常に重要な問題です。ここでは、Gが関数であるための条件、像の存在、およびそれが示唆することについて詳しく解説します。

直積集合A×Bと関数の定義

直積集合A×Bは、集合Aの各要素と集合Bの各要素の組み合わせからなる集合です。この集合における各ペア(x, y)は、x∈Aかつy∈Bを満たします。関数GがA×Bの部分集合である場合、このGは集合Aから集合Bへの対応関係を表すものとして解釈できます。

関数の定義は、「各x∈Aに対して、ちょうど一つのy∈Bが対応する」という条件を満たすことです。この定義に基づき、Gが関数であるためには、∀x∈Aに対して∃!y∈Bが成り立つ必要があります。

質問にあるように、「∀x∈A∃!y((x,y)∈G)」が成り立つ場合、すなわち、集合Aの各要素xに対して、ちょうど一つのyが存在し、そのペア(x, y)がGに含まれる場合、GはAからBへの関数として解釈できます。これは、Aの各要素に対してBの一意の要素が対応していることを意味します。

したがって、もしGがこの条件を満たすならば、Gは関数であると言えます。

関数Gの像Cは、次のように定義されます：∀y (y∈C ↔ ∃x∈A ((x,y)∈G))。これは、Gに含まれるペア(x, y)のうち、yがGに対応する要素すべてを集めた集合です。

像Cが集合として存在するかどうかは、置換公理に基づいています。置換公理は、ある集合が他の集合によって「置換される」場合、その集合がまた別の集合として存在することを保証します。よって、像Cは必ず集合として存在することが保証されます。

逆に、部分集合Gの像が存在しない場合、Gは関数ではないと言えるのでしょうか？この問いに対する答えは、部分集合Gが関数の定義を満たしていない場合、つまり∀x∈Aに対して対応するy∈Bが一意に存在しない場合です。

もしGがこの条件を満たさない場合、Gは関数とは呼べません。例えば、あるx∈Aに対して複数のy∈Bが対応する場合や、x∈Aに対応するyが存在しない場合、Gは関数として成立しません。したがって、像が存在しない場合、Gは関数ではないと考えられます。

直積集合A×Bにおける部分集合Gが関数であるためには、「∀x∈A∃!y((x,y)∈G)」の条件を満たし、像Cが集合として存在する必要があります。この条件を満たさない場合、Gは関数として成立しません。

関数の像Cは、置換公理に基づいて存在が保証され、像が存在しない場合は関数が成立しないことがわかります。このように、数学における関数の定義と像の存在について理解することは、集合論の基本を押さえるために重要です。