高校数学: 正規分布を用いた男子出生児の割合の確率計算

この問題では、出生児が男子である確率が0.514であるとき、1000人の出生児のうち男子が55%以上である確率を求めるものです。ここでは、正規分布を用いた解法を説明します。

1. 正規分布の基本理解

正規分布は、平均値を中心に左右対称の分布を持つ確率分布です。今回の問題では、男子が生まれる確率が0.514と与えられています。この確率を基に、1000人の出生児のうち男子が55%以上である確率を計算します。

まず、男子が生まれる確率をp = 0.514、男子でない確率を1 – p = 0.486とします。これらを元に、問題を解くための基礎を整えます。

問題で求める確率は、1000人の出生児のうち男子が55%以上いる確率です。この場合、二項分布が適用されます。しかし、母集団が大きいため、二項分布を正規分布で近似することができます。

正規分布への近似では、平均と分散が重要です。平均は、np = 1000 × 0.514 = 514、分散は、np(1-p) = 1000 × 0.514 × 0.486 ≈ 250.3です。標準偏差は分散の平方根を取ることで求められ、√250.3 ≈ 15.8となります。

次に、男子が55%以上いる確率を求めます。55%の男子とは、1000人中550人以上の男子を意味します。これをZスコアに変換します。

Z = (X – μ) / σ = (550 – 514) / 15.8 ≈ 2.28となります。ここで、Xは550、μは514、σは15.8です。Zスコアが2.28に対応する確率を正規分布表から求めると、0.9887となります。

Zスコアが2.28に対応する確率は0.9887ですが、ここで求めるのは男子が55%以上である確率です。したがって、55%以上の男子がいる確率は1 – 0.9887 = 0.0113、すなわち約1.1%となります。

したがって、1000人の出生児のうち男子が55%以上である確率は約1.1%です。

この問題では、男子出生確率を基にして、二項分布から正規分布への近似を使用して解法を行いました。最終的に、男子が55%以上である確率は約1.1%と求めることができました。