高校の数学(数2)において、a>b>0 かつ a+b=1 の条件のもとで、a²+b² と 1/2 の大小比較をする問題について解説します。この問題は、数式を変形して大小関係を導く問題です。ここでは、その解法を分かりやすく説明します。
問題の整理と解法のアプローチ
問題では、a > b > 0 および a + b = 1 の条件が与えられています。この条件を使って、a² + b² と 1/2 の大小比較を行います。まず、a + b = 1 という式を使って、a と b の関係を式に表すことが大切です。
a + b = 1 を使うと、b = 1 – a となります。この式を a² + b² に代入して、a のみに関する式に変換します。
式の変形と計算
a² + b² を展開すると、次のようになります。
a² + b² = a² + (1 – a)² = a² + 1 – 2a + a² = 2a² – 2a + 1
この式を使って、a² + b² と 1/2 を比較します。次に、a の範囲を考えます。a と b は 0 < a < 1 の範囲にあるので、この範囲内で大小比較を行います。
1/2 と a² + b² の比較
a² + b² = 2a² – 2a + 1 と 1/2 を比較するために、2a² – 2a + 1 を 1/2 と比較します。
まず、式を整理して次のように比較します。
2a² – 2a + 1 > 1/2
これを解くと、a² – a + 1/2 > 0 という不等式が得られます。この不等式を満たす a の範囲を求めることで、a² + b² が 1/2 より大きいかどうかを判断できます。
まとめ：a²+b² と 1/2 の大小関係の結論
以上の計算を経て、a² + b² が常に 1/2 より大きいことがわかります。この問題は、a と b の関係を適切に代入し、式を整理して比較することで解くことができます。大小比較の問題では、式の変形と不等式の解法が重要なポイントです。
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