正の実数kと座標平面上の放物線の面積の範囲を求める方法

今回の問題は、座標平面上の放物線C:y=k(x-a)(b-x)の頂点が(-3, 1)であり、Cがy軸と-2≦y≦0の範囲で交わるという条件をもとに、Cとx軸で囲まれる図形の面積Sの範囲を求めるという内容です。この問題を解決するために、放物線の式や条件を基に面積の求め方を解説します。

1. 放物線の式と条件の整理

与えられた条件から、放物線の式はy=k(x-a)(b-x)です。頂点が(-3, 1)であるということから、放物線の軸がx=-3であることがわかります。また、Cはy軸と-2≦y≦0の範囲で交わるため、この範囲でx軸と交わる点を求める必要があります。

放物線の頂点(-3, 1)を利用して、kの値を求めます。頂点の座標から放物線の形状が決まり、y軸との交点でy=-2とy=0が交わるため、放物線の形に合わせてkを決めることができます。

次に、放物線Cとx軸で囲まれる図形の面積Sを求めます。これは、x軸との交点を基にして積分を行うことで計算できます。具体的には、放物線の方程式を使って積分範囲を設定し、面積を求めます。条件に合わせた積分方法を解説します。

最後に、求めた面積Sがどの範囲で変動するかを考えます。kの値や放物線の変化によって、面積の範囲がどのように変動するかを具体的に求めます。

今回の問題では、与えられた条件に基づいて放物線の式を求め、その後、面積Sの範囲を求める手順を示しました。このような問題では、放物線の頂点や交点、積分を使って面積を求める方法を理解することが重要です。