a^122を5で割った余りを求める方法【整数の割り算】

問題：aを5で割ると2あまり、bを5で割ると3あまる。このとき、a^122を5で割った時のあまりを求めなさい。

1. 問題の整理

まずは与えられた情報を整理します。aは5で割ると余りが2、つまりa ≡ 2 (mod 5) です。また、bは5で割ると余りが3、つまりb ≡ 3 (mod 5) です。求めるのはa^122を5で割った余りです。つまり、a^122 ≡ ? (mod 5) を求めます。

a ≡ 2 (mod 5) という式から始めましょう。a^122 ≡ 2^122 (mod 5) に変換できます。次に、2^nの法則を使って計算を進めます。

2^n (mod 5) の繰り返しのパターンを調べると、次のようになります。
2^1 ≡ 2 (mod 5)
2^2 ≡ 4 (mod 5)
2^3 ≡ 3 (mod 5)
2^4 ≡ 1 (mod 5)
ここから、2^n (mod 5) は4回ごとに繰り返されることがわかります。

2^122を5で割った余りを求めるには、122を4で割った余りを使います。122 ÷ 4 = 30余り2です。つまり、2^122 (mod 5) = 2^2 (mod 5) となり、2^2 ≡ 4 (mod 5) です。

したがって、a^122を5で割った余りは4です。