数学2Bの「図形と方程式」について、特に直線と曲線の交点とその中点の軌跡を求める問題に関して、疑問が生じることがあります。この記事では、問題の解法をわかりやすく解説し、解説で用いられた式や仮定の意味についても詳しく説明します。
問題の内容と疑問点の整理
まず、問題の内容を整理しましょう。問題は、「点(-1,0)を通る傾きmの直線lが、曲線C: y = x^2と異なる2点PとQで交わるとき、2点P、Qの中点の軌跡を求める」というものです。この問題を解くためには、交点を求め、その中点を計算し、その軌跡を求めます。
疑問点1: x^2 – mx – m = 0 という式は何を表しているか？
解説で登場する「x^2 – mx – m = 0」は、直線lと曲線Cの交点を求めるための方程式です。ここで重要なのは、この式が交点PとQのx座標を求めるための式であるという点です。実際には、この方程式を解くことで、2つの解（αとβ）を得ることができ、これが交点P(α, α^2)とQ(β, β^2)のx座標に対応します。
疑問点2: P(α, α^2)とQ(β, β^2)の位置について
P(α, α^2)とQ(β, β^2)という表記は、単にx座標がαとβで、y座標はその2乗であることを示しています。問題の中で、「P(α, α^2)」や「Q(β, β^2)」という表現は、交点の座標を表すための標準的な方法です。αとβは、直線lと曲線Cの交点でのx座標であり、それぞれのy座標はx^2で計算できます。
中点の座標と軌跡
次に、P(α, α^2)とQ(β, β^2)の中点の座標を求めます。中点の座標は、x座標とy座標をそれぞれ平均することで求められます。中点のx座標は(α + β) / 2、y座標は(α^2 + β^2) / 2です。この中点の軌跡を求めるには、αとβの関係を式に代入していきます。
中点の軌跡の求め方
中点のy座標(α^2 + β^2) / 2を、x座標(α + β) / 2の式を使って表すことができます。これにより、αとβの関係を明確にし、最終的に中点の軌跡を求めることができます。具体的には、αとβを含む式を使って、軌跡となる方程式を導き出します。
まとめ
この問題は、直線と曲線の交点を求め、その中点の軌跡を求めるという内容です。疑問点1については、交点を求めるための式であり、疑問点2については、P(α, α^2)やQ(β, β^2)は交点の座標を表していることを理解することが重要です。また、中点の軌跡を求める際には、交点の座標を使って計算する方法を理解することがポイントです。
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