東京学芸大学の入試問題における数学の問題「a+b=1、a、bは正の実数であるとき、(a^a)+(b^b)>=√2を証明しなさい。また等号が成り立つ時、a、bの値をすべて答えなさい」という問題の解説を行います。この問題は、相乗平均を使って解くことができます。詳しく解説していきますので、是非ご確認ください。
相乗平均を使った解法
まず、問題の式を確認しましょう。a+b=1 という条件から、a、bは0と1の間にある正の実数であることがわかります。次に、(a^a)+(b^b) >= √2 を証明するために、相乗平均を使用します。相乗平均の不等式により、次のように式を変形できます。
証明の過程
(a^a) + (b^b) >= √{4(a^a)(b^b)} の形になります。この形で等号が成り立つ場合について考えます。そのためには、(a^a)(b^b) = 1/2 である必要があることがわかります。したがって、この条件を満たすa、bの値を求めることが次のステップです。
a、bの値を求める
具体的にaとbの値を求めるためには、(a^a)(b^b) = 1/2 を満たすa、bを見つける必要があります。まず、aとbはa+b=1の関係を持っているので、代入して解くことができます。このように、aとbの値を求めることで、等号が成り立つときの解答を得ることができます。
まとめ
この問題は相乗平均を使って証明し、条件を満たすa、bの値を求める問題です。相乗平均の不等式を使うことで、複雑に見える問題をシンプルに解くことができます。最終的にaとbの値を求めることで証明が完了します。数学的な思考を深めるために、こうした問題に挑戦してみてください。
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