f(g(x))の定義域の求め方：数学的解説

関数f(x)とg(x)が与えられたとき、合成関数f(g(x))の定義域を求める方法を解説します。特に、f(x)の定義域が実数、g(x)の定義域が0以外の実数である場合に焦点を当て、どのようにしてf(g(x))の定義域を導くかを詳しく説明します。

関数の定義域とは？

まず、定義域とは関数が定義されているxの値の範囲のことを言います。f(x)の定義域が実数全体であれば、f(x)はすべての実数xに対して値を返します。同様に、g(x)が0以外の実数の範囲で定義されている場合、g(x)はxが0を除くすべての実数に対して定義されています。

f(g(x))の定義域を求めるためには、g(x)の定義域に加えて、g(x)がf(x)に代入されたときにf(x)が定義されるxの範囲を考える必要があります。f(x)の定義域が実数全体であれば、g(x)の値が実数全体をカバーすれば、g(x)の定義域に一致することがわかります。

質問にあるように、f(x)の定義域が実数全体、g(x)の定義域が0以外の実数である場合、f(g(x))の定義域はg(x)の定義域と一致します。したがって、この場合、f(g(x))の定義域は0を除いたすべての実数です。

f(x)の定義域が実数、g(x)の定義域が0以外の実数である場合、合成関数f(g(x))の定義域はg(x)の定義域に等しくなります。このように、関数の合成においては、内側の関数の定義域が最も重要であることがわかります。