階数nの自由A-加群におけるn+1個以上の元が必ず線形従属である理由の証明

階数nの自由A-加群において、n+1個以上の元が必ず線形従属になることの証明について解説します。線形従属の概念や自由A-加群の性質を理解しながら、この命題の証明の流れを詳しく見ていきます。

1. 自由A-加群とは？

自由A-加群とは、基底が存在し、すべての元が基底の線形結合で表せる加群です。加群の基底は線形独立な元の集合であり、その元たちの組み合わせで加群内の任意の元を表現することができます。

自由加群では、基底の数がその加群の階数nに対応します。ここでは、自由A-加群の階数nが与えられています。

n+1個以上の元が線形従属であるとは、これらの元が非自明な線形結合で0になるということです。具体的には、次のように表現できます。

c1v1 + c2v2 + … + cn+1vn+1 = 0

ここで、c1, c2, …, cn+1はスカラーで、少なくとも一つのciが0でない場合、v1, v2, …, vn+1は線形従属です。

自由A-加群の元がn+1個以上与えられたとき、その元たちが線形独立でないことを示します。

まず、n個の基底元で構成される加群において、それにn+1個目の元を追加すると、これらは必ず線形従属になるという性質があることを利用します。この理由は、基底の元はn個しか存在しないため、n+1個以上の元は必ずその範囲を超えてしまい、重複する部分が出てくるからです。

このように、階数nの自由A-加群においてn+1個以上の元は必ず線形従属になります。自由A-加群の基本的な性質と線形従属の定義を理解することで、この命題が成り立つことが確認できました。加群の階数と元の数がどのように関連しているのかを理解することが、線形従属の理解に繋がります。