この問題では、三角形△ABCの中で、辺BCを3:1に内分する点D、外分する点E、および重心Gについてのベクトルを求める方法を説明します。初めてベクトルの問題を解く場合は、まず基本的なベクトルの計算方法を理解することが重要です。
1. ベクトルとは？
ベクトルは、方向と大きさを持つ量であり、数学や物理で多くの問題を解く際に使用されます。特に、三角形に関する問題では、各点をベクトルで表現することで、解く過程を効率的に進めることができます。
ここでの問題では、△ABCにおける各点D、E、Gのベクトルを求めることが求められています。
2. 内分点D、外分点E、重心Gの定義
まず、問題に登場する点について説明します。
- 内分点D: 辺BCを3:1に内分する点です。内分点は、2点間を特定の比率で分ける点です。
- 外分点E: 辺BCを3:1に外分する点です。外分点は、2点間を外部で分ける点です。
- 重心G: △ABCの3つの頂点からそれぞれ引いた中線の交点です。重心は、各辺を等しい比率で分ける点です。
3. 各ベクトルの求め方
それぞれのベクトルを求めるためには、基本的なベクトルの計算方法を使います。問題において与えられた情報をもとに、点D、E、Gのベクトルを計算します。
1) ベクトルAD
ベクトルADを求めるためには、点Dの位置ベクトルを求める必要があります。Dは辺BCを3:1に内分する点なので、Dの位置は以下の式で表されます。
vec{AD} = (3/4)vec{BC}
2) ベクトルAE
次に、ベクトルAEを求めます。点Eは、辺BCを3:1に外分する点なので、Eの位置は次のように求めます。
vec{AE} = (3/4)vec{BC}
3) ベクトルAG
重心Gは、三角形の各頂点から中線を引いた交点です。したがって、重心Gの位置ベクトルは以下のように表されます。
vec{AG} = (1/3)vec{AB} + (1/3)vec{AC}
4) ベクトルGE
最後に、ベクトルGEを求めます。ベクトルGEは、重心Gから外分点Eに向かうベクトルです。Eの位置とGの位置がわかっているので、次のように計算できます。
vec{GE} = vec{E} – vec{G}
4. まとめ
これで、点D、E、Gに関するベクトルを求める方法がわかりました。ベクトルの計算方法を理解し、問題に応じて適切に適用することで、複雑な問題も効率よく解けるようになります。
ベクトルの問題では、点を内分や外分することが多く、その計算方法をしっかり覚えておくことが大切です。
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