arcsin(x) を超幾何関数で表現する方法

この記事では、関数 arcsin(x) を超幾何関数で表現する方法について解説します。超幾何関数の基本を押さえ、どのようにして arcsin(x) をその形式に変換できるのかを具体的に示します。

arcsin(x) の定義

arcsin(x) は、正弦関数の逆関数であり、x の値に対応する角度 θ を求める関数です。この関数は、-1 ≦ x ≦ 1 の範囲で定義されており、出力は θ = arcsin(x) という角度となります。

超幾何関数とは、特定の無限級数を使って表される関数で、通常、F(a, b; c; x) の形式で表現されます。これは、複雑な数式を簡略化し、計算を効率化するために使用されます。超幾何関数は、特に積分や微分の計算に有用です。

arcsin(x) を超幾何関数で表すために、まずは超幾何関数の形式に基づいた変換を行います。

arcsin(x) は次のように超幾何関数に表されます。

arcsin(x) = ∫(0 to x) (1 – t^2)^(-1/2) dt

この積分式は、超幾何関数の特殊なケースとして表現できます。積分を評価することで、arcsin(x) の値を超幾何関数の形式に変換することが可能です。

実際に arcsin(x) を超幾何関数の形で表現する際には、以下の式が用いられます。

arcsin(x) = F(1/2, 1/2; 3/2; x^2)

この式では、超幾何関数 F(a, b; c; x) の形式に基づき、arcsin(x) がどのように対応するのかを確認することができます。

arcsin(x) を超幾何関数で表現する方法について解説しました。超幾何関数を使用することで、複雑な積分を効率的に解くことが可能になり、arcsin(x) をより簡潔に表現することができます。