この問題では、与えられた不等式 √x＋√y＋√z≦k*√(x＋2y＋3z) の成立するための最小値 k を求める方法を解説します。このような不等式問題では、数式を巧妙に操作することで、最適な値を導き出すことが可能です。問題を解くための手順とポイントを詳しく説明します。
1. 不等式の理解と整理
まず、与えられた不等式は次のようになっています。
√x + √y + √z ≦ k * √(x + 2y + 3z)
ここで、x、y、z は正の実数です。この不等式を満たす最小の k の値を求めるのが問題です。まずは、不等式を簡単な形に変形していきましょう。
2. 特定の値を代入してみる
まずは、x、y、z に特定の値を代入して、不等式のバランスを見てみます。例えば、x = 1, y = 1, z = 1 とした場合、次のように計算できます。
- √x + √y + √z = √1 + √1 + √1 = 3
- √(x + 2y + 3z) = √(1 + 2(1) + 3(1)) = √6
これを元に、k の値を計算していく方法を考えます。
3. 解析的アプローチ：最小値 k の求め方
次に、上記の計算結果をもとに、最小の k を求めるための一般的なアプローチをとります。まず、両辺を二乗してみましょう。具体的には、次のように式を展開します。
(√x + √y + √z)² ≦ k² * (x + 2y + 3z)
その後、この式を適切に整理し、k の最小値を求める手法に進みます。
4. 他の方法との比較とアプローチの選択
このような問題では、さまざまな方法が考えられます。例えば、Lagrangeの未定乗数法や、均等な値を使った数学的直感を応用する方法です。それぞれの方法で最小値を計算し、最も簡便な方法を選択して答えを導き出します。
また、この問題のような不等式の最適化問題では、対称性を利用することがしばしば有効です。適切な方法を選んで最小値を求めることがポイントとなります。
5. まとめ：k の最小値と解法のコツ
この問題を解くためには、不等式の性質をよく理解し、計算を整理することが重要です。k の最小値は、適切な代入と展開を行い、最小値を求めるというステップを踏むことで導けます。
また、解法の過程でのアプローチの選択や代入する値の選定が重要であり、反復練習を行うことで、より効率的に解けるようになるでしょう。数式の扱いに慣れることで、数学的な問題をよりスムーズに解くことができます。
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