微分方程式の解法と特殊解の求め方｜x(1-x)y''+(3/2-2x)y'-1/4y=0

微分方程式の解法において、特殊解を求めることは非常に重要な技術です。今回は、与えられた微分方程式 x(1-x)y”+(3/2-2x)y’-1/4y=0 に対して、y=x^nという形の特殊解を求め、さらにその解を用いて他の独立解を導出する方法を解説します。

微分方程式の一般形

与えられた微分方程式は以下のように書かれています。

x(1-x)y”+(3/2-2x)y’-1/4y=0

この微分方程式に対して、まずy = x^nの形の特殊解を仮定してみます。y = x^nとすると、y’とy”の式を展開できます。この形を使ってnの値を求めていきます。

まず、y = x^nと仮定します。このとき、1階と2階の導関数を求めると、

y’ = n x^(n-1)

y” = n(n-1) x^(n-2)

これらを微分方程式に代入して、nの値を求めます。

代入後の式を整理し、xの各次元ごとに比較することでnの値を求めることができます。

次に、(1)の解を使って、他の独立解が y = x^(-1/2)arcsin√x となることを示します。この解は特に特殊な形をしていますが、一般的な方法を使って解を求めることができます。

ここでは、y = x^(-1/2)arcsin√x という形を仮定し、この解を微分して微分方程式に代入して確認する手法を使います。これにより、この形が解であることが確認できます。

最後に、この解 y = x^(-1/2)arcsin√x を使って、arcsin√x と arcsinx と超幾何級数との関係を示します。

arcsin√xやarcsinxの級数展開を利用して、それが超幾何級数の一部であることを示すことができます。具体的には、これらの関数をテイラー級数として展開し、その結果が超幾何級数の定義と一致することを確認します。

微分方程式における特殊解の求め方や、独立解の導出方法、さらにそれらが超幾何級数とどのように関連するかについて解説しました。これらの技術は微分方程式を解く上で非常に重要です。特に、特殊解の形を仮定し、その解を元に他の解を導出する方法は多くの問題で役立ちます。