行列の階数と積に関する誤解を解く：行列AとBの関係性

行列の階数に関する問題は、特に線形代数において重要な概念です。質問者が抱える疑問は、行列Aと行列Bを掛け合わせたとき、積ABの階数がどのように決まるのかということです。具体的に言うと、非特異行列Bを後ろから掛ける場合、積ABの階数はBの階数に等しいか、大きくなるのか、それとも異なるかという点です。ここでは、これらの疑問について順を追って解説します。

行列の階数とは？

まず、行列の階数について簡単に振り返りましょう。行列の階数は、その行列が持つ独立な行や列の数を示します。言い換えると、行列の階数は、その行列が持つ情報の「広がり」を表す指標です。行列Aの階数は、Aがどれだけ「独立した情報」を持っているかを示します。

行列Aに非特異行列Bを掛けるときの階数の関係

質問者が述べているように、行列A（例えば5×3行列）に非特異行列B（例えば3×3行列）を掛けた場合、積ABの階数がBの階数に等しいのか、大きくなるのかについては少し注意が必要です。

まず、Bが非特異行列であるという条件は、Bの階数がそのサイズに等しいことを意味します。つまり、Bが3×3の非特異行列なら、その階数は3です。行列Aが5×3の行列であれば、Aの階数は最大でも3になります。しかし、行列Bの階数がAの階数より大きい場合、ABの階数はBの階数と等しくなるわけではありません。行列Aの階数が制約となり、ABの階数はAの階数を超えることはありません。

行列の積ABの階数についての誤解

質問者は、行列Aの階数とBの階数がAより小さい場合にABの階数がBの階数に等しい、あるいはそれを超えることはないと考えているようですが、これは正しい理解です。実際、行列Aの階数が3、Bの階数が4であれば、ABの階数はAの階数に依存し、最大でもAの階数になります。

まとめ

行列の階数と積の関係を理解するためには、AとBの階数をしっかりと区別し、積ABの階数はAの階数を超えないことを確認することが重要です。非特異行列Bを後ろから掛けた場合、積ABの階数はBの階数に等しいわけではなく、Aの階数に制約されることを意識することが大切です。