座標平面での原点移動と尺度変更：楕円を円に変換する方法

高校数学

2026.02.22

数学の問題で、座標平面の原点を移動させたり、x軸とy軸の尺度を変更したりすることによって、楕円を円に変換することができるのでしょうか？この記事では、この方法について、特に座標変換や尺度変更を用いて楕円を円にする方法を解説します。

座標変換の基本

まず、座標変換の基本について説明します。座標平面での変換とは、ある座標系における点を別の座標系に移動させる操作のことです。座標変換には、平行移動（原点移動）や拡大・縮小（尺度変更）、回転などがあります。

ここで重要なのは、原点を移動させることで新たな座標系を定義し、物理的な変換が数学的にどのように表されるかです。例えば、元の座標系で楕円の方程式がある場合、座標変換によってその形を変更することができます。

楕円の一般的な方程式は次のように表されます。

(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1

ここで、aとbはそれぞれx軸とy軸の半径を示し、楕円の形を決定します。このとき、xとyの尺度を変えることで、楕円を円に変換することが可能です。具体的には、x軸の尺度をaで割り、y軸の尺度をbで割ることで、楕円を次のような方程式に変換できます。

(x’² / a²) + (y’² / b²) = 1

これにより、座標平面上で楕円の形が円になります。このような変換を行うことで、楕円の方程式を円の方程式に変換することができます。

さらに、座標平面で原点を移動させることで、楕円の位置を変えることも可能です。例えば、元の座標系の原点から座標(Δx, Δy)だけ移動させると、新しい座標系で楕円の位置が変わります。移動した後でも、楕円の形はそのままで、ただし位置が変わるだけです。

原点移動は、計算上で座標の平行移動を行う際に使いますが、楕円の形には直接的な影響はありません。尺度変更と組み合わせることで、楕円を円に変換することが可能になります。

楕円の方程式を円に変換するためには、x軸とy軸の尺度を変更する方法が有効です。この方法は、尺度変更を通じて楕円の形を簡単に円に変換できるため、数学的な問題を解く際に便利です。また、座標平面での原点移動は、楕円の位置を変更するために使える手法ですが、楕円の形を変更するわけではありません。