この問題では、√2の連分数展開を用いて、偶数番目の項を抜き取った数列が有理数に収束しないことを示すことが求められています。特に、イプシロンエヌ論法を使った証明方法に焦点を当て、どのようにこの事実を証明するのかを解説します。
連分数展開の基本
まず、連分数展開とは、無理数を分数の形で表す方法の一つです。特に√2の場合、連分数展開は次のように表されます。
√2 = [1; 2, 2, 2, 2, …]
ここで、[1; 2, 2, 2, 2, …]という形式は、最初の項が1であり、その後はすべて2であるという特性を持っています。これを利用して、連分数展開を行うと、無理数である√2を近似する有理数が得られます。
偶数番目の項だけを抜き取った数列
次に、連分数展開から偶数番目の項だけを抜き取るという操作について考えます。つまり、[1; 2, 2, 2, 2, …]から2番目、4番目、6番目…の項を抜き取った数列を考えます。
この場合、得られる数列は、例えば次のようになります。
[1; 2, 2, 2, …]から偶数番目だけを抜き取ると、[1; 2, 2, 2, …]となります。この数列は、√2に近づくが、収束して有理数に至るわけではありません。
イプシロンエヌ論法を使った証明
イプシロンエヌ論法を用いて、この数列が有理数に収束しないことを示します。イプシロンエヌ論法は、ある数列が収束するかどうかを確認する際に使われます。具体的には、数列が収束するためには、ある小さな誤差（ε）を与えたとき、その誤差を十分に小さくできるようなN（自然数）が存在することが必要です。
連分数展開で得られる数列は、√2に近づいていきますが、偶数番目の項を抜き取った数列は、無理数に収束し続けるため、有理数には収束しません。これは、偶数番目の項だけを抜き取る操作が収束を妨げるためです。
まとめ
√2の連分数展開から偶数番目の項を抜き取った数列が有理数に収束しない理由は、イプシロンエヌ論法を用いると、数列の収束先が無理数であることが分かります。これにより、偶数番目の項を抜き取った数列は有理数に収束しないことが証明されました。
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