1998年度阪大理系数学問題：放物線の交点と接線の直交条件

1998年度阪大理系数学の問題に関する解法では、2つの放物線が交点を持ち、接線が直交する場合の条件を求める問題が出題されました。ここでは、解法を通じて問題をどのように解くかを説明します。

1. 問題の概要

問題は、放物線y=-x²+1とy=ax²+bx+cが異なる2点で交わり、その接線が直交するという条件のもとで、y=ax²+bx+cの式を求めるというものです。まず、この問題の設定から出発し、接線が直交するという特別な条件を考慮に入れる必要があります。

まず、放物線y=-x²+1とy=ax²+bx+cが交点を持つためには、方程式を解いて交点を求めます。この交点での接線が直交するという条件を満たすためには、交点の座標で接線の傾きが負の逆数である必要があります。これにより、接線が直交するための条件を式に表すことができます。

次に、y=ax²+bx+cの式に関して、交点で接線が直交する条件を式に組み込みます。定数a、b、cを含む式を整理し、得られた式を帰納法を使って解いていきます。例えば、n=2の場合に成り立つかどうかを検証するために、数式を用いて段階的に解法を進めます。

最終的に、得られた式からa、b、cの値を求め、放物線の方程式を確定します。ここで、接線が直交する条件を満たすために導出した式を最終的に整理し、a=1、b、cの値を求めることで解を得ることができます。最終的な結果として、y=ax²+(3a-1)/4aの形の式が得られます。

この問題では、放物線が交点で接線が直交する条件を考慮し、方程式を求める過程を通じて帰納法と微分をうまく活用しました。問題を解く際に必要なステップを踏んで、最終的に放物線の式を求めることができました。